パーフェクト・シャッフルを確認する

http://slashdot.jp/science/08/11/19/0227240.shtml
スラッシュドットの記事、「ブラックジャックでは、トランプを４回シャッフルすればok？」のコメント欄で

8回シャッフルすると。 (スコア:1)
tockri (27596) : 2008年11月19日 13時30分 (#1458220) ホームページ 日記
ジョーカーを除いた52枚を8回シャッフルすると。元に戻ることがあります。 [hatena.ne.jp]


こんなものも公開されててマジシャンにとっては嫌な世の中になったもんですね。

とのこと。これをパーフェクト・シャッフルというらしいです。
はてなキーワードにある説明を見てみると

トランプのカードの切り方（混ぜ方）の1種。　デック（トランプ1束）を正確に2等分し、2つのパケット（2等分したトランプの束それぞれ）を完全に1枚ずつ噛み合わせるように混ぜる方法です。　ジョーカーを抜いたトランプ（52枚）を8回パーフェクト・シャッフルすると、順番が元に戻ることが知られています。

とありますねえ。確認してみましょう。
噛み合わせるときは、上にあったパケットのカードを上側に噛み合わせることとします。


まずは、x(0
これを8回繰り返すわけですが、まずx=1だったら
1回目:2 * 1 - 1 = 1
なので、2回目、3回目とずっと1のまま。
次にx=2の場合は
1回目:2 * 2 - 1 = 3
2回目:2 * 3 - 1 = 5
3回目:2 * 5 - 1 = 9
4回目:2 * 9 - 1 = 17
5回目:2 * 17 - 1 = 33
6回目:2 * (33 - 26) = 14
7回目:2 * 14 - 1 = 27
8回目:2 * (27 - 26) = 2
お、元に戻りましたねえ。下のパケットでも試してみますか。
x=32の場合です。
1回目: 2 * (32 - 26) = 12
2回目: 2 * 12 - 1 = 23
3回目: 2 * 23 - 1 = 45
4回目: 2 * (45 - 26) = 38
5回目: 2 * (38 - 26) = 24
6回目: 2 * 24 - 1 = 47
7回目: 2 * (47 - 26) = 42
8回目: 2 * (42 - 26) = 32
おお、やっぱり戻りました。


ただ、2つの式を行ったり来たりするので
いまいち、エレガントな証明方法が思いつきませんねえ。
うーん、駄目だ。断念！